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ブロンデルの定理と対称平衡三相回路

   

ブロンデルの定理

\(\it{n}\)相\(\it{n}\) 線式の(有効)電力は\(\it{n}-1\) 個の単相電力計を用いて計測することが出来る

単相電力計は1相あたりの線電流と線間電圧を測定するように結線(上記パラメータは各結線方法に存在)
\(W_{1}\): \(I_{U}\)と\(V_{UV}\)を測定
\(W_{2}\): \(I_{W}\)と\(V_{VW}\)を測定

 

 

 

 

対称平衡三相回路(電源はY結線)

負荷の位相角を\(\it{θ}\) ( 遅れ) とすると,ベクトル図は下図のようになる( 電流が電圧より\(\it{θ}\) 遅れ)

ベクトル図より,\(W_{1}\)の電力\(P_{1}\)は,
\(P_{1}=\vert  V_{UV} \vert\vert I_{U} \vert cos (V_{UV}とI_{U}の位相差)\)
\(=\vert  V_{UV} \vert\vert I_{U} \vert \cos (30+θ)\)

\(W_{2}\)の電力\(P_{2}\)は,
\(P_{2}=\vert  V_{VW} \vert\vert I_{W} \vert cos (-V_{VW}とI_{W}の位相差)\)
\(=\vert  V_{VW} \vert\vert I_{W} \vert \cos (30-θ)\)

電圧及び電流の大きさは各相で等しいため,
\(\vert V_{UV} \vert =\vert V_{VW} \vert =V_{r}\sqrt{3}V\)
\(\vert I_{U} \vert=\vert I_{W} \vert=I\)

二電力計法による三相有効電力の測定

両電力計\(W_{1}\) , \(W_{2}\)の各( 有効)電力\(P_{1}\) , \(P_{2}\)の和は
\(P_{1}+P_{2}=V_{r}I\cos(30°+θ)+V_{r}I\cos (30°-θ)=V_{r}I[\cos (30°+θ)+\cos (30°-θ)]\)

三角関数の積和の公式
\(\cos α \cos β =\frac{1}{2}[\cos (α+β) +\cos (α-β)]\)
\(\cos (α+β)+\cos (α-β) =2\cos α \cos β\)

上記三角関数の積和の公式を利用すると電力\(P_{1}\) , \(P_{2}\)の和は次のように書き換えられる

\(P_{1}+P_{2}=V_{r}I[\cos (30°+θ)+\cos (30°-θ)]=V_{r}I×2\cos 30° \cos θ=\sqrt{3}V_{r}I\cos θ=3VI\cos θ\)

これにより,2 つの電力計の指示値の和が三相有効電力と等しいため,ブロンデルの定理が証明された( 二電力計法による三相電力が測定可能)

二電力計法による三相無効電力の測定

両電力計\(W_{1}\) , \(W_{2}\)の各電力\(P_{1}\) , \(P_{2}\)の差は
\(P_{2}-P_{1}=V_{r}I\cos(30°-θ)-V_{r}I\cos (30°+θ)=V_{r}I[\cos (30°-θ)-\cos (30°+θ)]\)

三角関数の積和の公式
\(\sin α \sin β =-\frac{1}{2}[\cos (α+β) -\cos (α-β)]\)
\(\cos (α-β)-\cos (α+β) =2\sin α \sin β\)

上記三角関数の積和の公式を利用すると電力\(P_{1}\) , \(P_{2}\)の差は次のように書き換えられる

\(P_{2}-P_{1}=V_{r}I[\cos (30°-θ)-\cos (30°+θ)]=V_{r}I×2\sin 30° \sin θ=V_{r}I\sin θ=\sqrt{3}VI\sin θ\)

これにより,2 つの電力計の指示値の差の\(\sqrt{3}\)倍が三相無効電力と等しい

二電力計法による各種電力と力率の計算

●三相無効電力 \(P_{r}\)

\(P_{r}=3VI\sin θ=\sqrt{3}(P_{1}-P_{2})\)

●三相皮相電力 \(P_{a}\)

\(P_{a}=3VI=\sqrt{P^{2}+P_{r}^{2}}\)

●三相有効電力 \(P\)

\(P=3VI\cos θ=P_{1}+P_{2}\)

 

 

力率 \(\cos θ=\Large{\frac{P}{P_{a}}}\)

無効率    \(\sin θ=\Large{\frac{P_{r}}{P_{a}}}\)

すなわち、2つの単相電力計の指示値のみで各種電力(有効,無効,皮相)及び力率を測定可能である

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